Математика, Части 1, 2 -я аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика
Контрольная по предмету:
"Высшая математика"
Название работы:
"Математика, Части 1, 2 -я аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика"
Автор работы: Дмитрий
Страниц: 40 шт.
Год:2007
Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)
Контрольные упражнения по курсу
для студентов заочной формы обучения по специальностям экономики и менеджмента
«МАТЕМАТИКА»
Часть 1я аналитическая геометрия,
линейная алгебра и математический анализ
Тема 1. Декартова прямоугольная система координат
1. На оси координат найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки (3;2) и (2;8).
Решение: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки и , получим: ,
Если , то . Следовательно, точка , через которую проходит прямая имеет координаты .
Ответ:
2. По данным вершинам треугольника A(9;1), B(5;0) и C(5;7) определить угловые коэффициенты медианы, проведенной из вершины B., и высоты, опущенной из вершины A.
Решение: Пусть середина отрезка , тогда .
Построим , и уравнение медианы .
Построим
Тогда уравнение высоты
Ответ:
3. По координатам трех вершин ромба A(1;4), B(3;1) и C(4;0) определить координаты четвертой вершины.
Решение: Найдем уравнения сторон ромба AC и AB. Для этого найдем вектора:
Пусть D вершина ромба.
Построим уравнение прямой
Построим уравнение прямой
Найдем точку пересечения прямых CD и BD.
Ответ: D(0;3) вершина ромба.
Тема 2. Прямая линия
1. Написать уравнения перпендикуляров к прямой , проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.
Решение: Напишем уравнение прямой в «отрезках»
Следовательно, прямая по оси OX отсекает отрезок, конец которого имеет точку A(5;0), а по оси OY отрезок, конец которого имеет точку B(0;3).
Найдем уравнение искомой прямой , проходящей через точку A(5;0) перпендикулярно в каноническом виде:
Найдем уравнение искомой прямой , проходящей через точку B(0;3), перпендикулярно в каноническом виде:
Ответ:
«МАТЕМАТИКА»
Часть 2я теория вероятностей и математическая статистика
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Тема 1. Основные определения и теоремы
1. Номер серии выигрышного билета вещевой лотереи состоит из пяти цифр. Определить вероятность того, что номер первой выигравшей серии будет состоять из одних нечетных цифр.
Решение: В номере используются цифры: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Пусть 0 четное число, тогда вероятность появления в какомлибо разряде серии нечетного числа равна , т.к. нечетных цифр 5 штук. Таким образом, вероятность появления нечетной серии равна .
Ответ: .
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8 и для третьего - 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
Решение:
Пусть событие А хотя бы один станок потребует вмешательства рабочего. Тогда
.
Ответ: искомая вероятность.
3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?
Решение: По формуле Бернулли ( , где вероятность выигрыша, соответственно вероятность проигрыша, число независимых испытаний, событие наступит ровно раз.)
Имеем, вероятность того что выигрыш состоится 1 или более раз равно
Ответ:
4. В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 штук I сорта и 60 штук II сорта. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия окажутся а) одного сорта, б) разных сортов.
Решение: Пусть событие A отобрано изделие I сорта, B отобрано изделие II сорта. Тогда
Содержание работы
II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Тема 5. Выборка и ее распределения.
1. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака составила 0,15. Найти вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0,01, если выборка повторная.
Решение:
Пусть случайная величина Х доля брака распределена нормально с параметрами (0, 0,15). Математическое ожидание случайной величины равно нулю, поэтому применима формула , где заданная величина отклонения (ошибки), среднеквадратическое отклонение случайной величины. В итоге находим, что , где значение найдено из таблицы значений функции Лапласа. Искомая вероятность .
Ответ: Искомая вероятность равна 0,004.
2. По данным выборки, представленным вариационным рядом:
1 2 5 8 9
частоты
3 4 6 4 3
найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию .
Решение:
где
Ответ:
Тема 7. Регрессионный и дисперсионный анализ.
1. Данные статистической обработки сведений по двум основным показателям (х) и (у) отражены в корреляционной таблице.
Х
Y 50
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 Итого
50 2 1 3
60 1 2 1 1 5
70 3 3 1 1 8
80 1 1 5 3 2 12
90 1 6 5 9 5 2 1 1 30
100 1 6 6 20 8 2 1 44
110 1 3 9 15 6 4 1 1 2 42
120 1 8 5 6 2 1 1 2 26
130 4 4 3 5 4 20
140 4 1 1 2 8
150 1 2 3 6
160 1 1 2 1 1 4 10
Итого 6 7 4 19 31 61 31 24 8 4 5 14 214
Найти уравнение прямой регрессии у по х и определить коэффициент корреляции.
Решение:
Составим корреляционную таблицу 1, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).
Таблица 1.
u(t)
v(t) 5
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Итого
5 2 1 3
4 1 2 1 1 5
3 3 3 1 1 8
2 1 1 5 3 2 12
1 1 6 5 9 5 2 1 1 30
0 1 6 6 20 8 2 1 44
1 1 3 9 15 6 4 1 1 2 42
2 1 8 5 6 2 1 1 2 26
3 4 4 3 5 4 20
4 4 1 1 2 8
5 1 2 3 6
6 1 1 2 1 1 4 10
Итого
6 7 4 19 31 61 31 24 8 4 5 14 214
Найдем условные варианты и :
.
Найдем вспомогательные величны и :
.
Найдем и :
,
.
Найдем величину , для чего составим расчетную таблицу 2. Суммируя числа последнего столбца или последней строки таблицы 2, находим .
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
.
Теперь найдем средние значения, учитывая, что и шаги (разности между любыми двумя соседними вариантами):
и среднеквадратические отклонения:
Подставив найденные величины в соотношение , получим искомое выборочное уравнение регрессии Y на X. Получаем:
или
Ответ:
Таблица 2.
u(t)
v(t)
5
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
5 10 2
10 5
1
4
14
70
4 4
1
5 8
2
8 4
1
2 4
1
1
16
64
3 9
3
15 9
3
12 3
1
3 3
1
2
32
96
2 2
1
3 2
1
2 10
5
5 6
3
0 4
2
2
8
16
1 1
1
3 6
6
12 5
5
5 9
9
0 5
5
5 2
2
4 1
1
4 1
1
6
1
1
0 0
1
3 0
6
12 0
6
6 0
20
0 0
8
8 0
2
4 0
1
4
5
0
1 1
1
4 3
3
6 9
9
9 15
15
0 6
6
6 4
4
8 1
1
3 1
1
4 2
2
12
14
14
2 2
1
2 16
8
0 10
5
5 12
6
12 4
2
6 2
1
4 2
1
5 4
2
12
42
84
3 12
4
4 12
4
0 9
3
3 15
5
10 12
4
12
21
63
4 16
4
8 4
1
3 4
1
5 8
2
12
28
112
5 5
1
0 10
2
10 15
3
18
28
140
6 6
1
1 6
1
0 12
2
2 6
1
2 6
1
5 24
4
24
32
192
23 21 6 10 8 39 28 51 21 2 22 52 852
115 84 18 20 8 0 28 102 63 8 110 312 852 =
2. Распределение имеющихся на участке 400 молодых сосен по общей длине ствола в сантиметрах (х) и длине его части без ветвей (у) дается в следующей таблице:
Х
Y 14 18 22 26 зо 34 38 42 Итого
25 17 5 22
45 15 35 25 7 82
65 1 1 39 15 56
85 5 1 15 31 17 69
105 7 3 51 61
125 5 35 13 53
145 19 33 5 57
Итого 38 42 86 56 73 54 46 5 400
По этим данным определить коэффициент корреляции.
Решение:
Составим корреляционную таблицу 3, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).
Таблица 3.
Х
Y 2 1 0 1 2 3 4 5 Итого
1 17 5 22
0 15 35 25 7 82
1 1 1 39 15 56
2 5 1 15 31 17 69
3 7 3 51 61
4 5 35 13 53
5 19 33 5 57
Итого 38 42 86 56 73 54 46 5 400
Найдем условные варианты и :
.
Найдем вспомогательные величины и :
.
Найдем и :
,
.
Найдем величину , для чего составим расчетную таблицу 4. Суммируя числа последнего столбца или последней строки таблицы 4, находим .
Таблица 4.
u(t)
v(t) 2 1 0 1 2 3 4 5
1 17
17
34 5
5
5
39
39
0 0
15
30 0
35
35 0
25
0 0
7
7
58
0
1 1
1
2 1
1
1 39
39
0 15
15
15
12
12
2 10
5
10 2
1
1 30
15
0 62
31
31 34
17
34
54
108
3 21
7
0 9
3
3 153
51
102
105
315
4 20
5
10 140
35
105 52
13
52
167
668
5 95
19
57 165
33
132 25
5
25
214
1070
6 2 90 86 207 235 217 25 2212
12 2 0 86 414 705 868 125 2212 =
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
.
Ответ:
3. По данным о значениям х и у найти параметры a и b по способу наименьших квадратов, полагая, что х и у связаны зависимостью вида у=ах+b.
х 0 1 2 3 4 5
y 4,6 6,3 8,4 9,3 11,7 13,2
Решение:
Воспользуемся простейшей линейной моделью вида:
.
Параметры данной модели оценим по методу наименьших квадратов (МНК).
Для линейной модели параметры:
,
где среднее значение фактора времени; среднее значение исследуемого показателя , где N=6.
Найдем указанные величины:
Таким образом, параметры a и b и сама линейная регрессионная модель будут иметь вид: .
Ответ:
4. Рост производительности труда на предприятии за пять лет отражен в следующей таблице:
Годы 1 2 3 4 5
Среднее количество деталей,
выпускаемых рабочим за смену 235 250 270 292 300
Полагая, что рост производительности труда следует линейной зависимости у=ах+b, найти по этим данным параметры а и b, применив способ наименьших квадратов.
Решение:
Для отражения тенденции изменения производительности труда воспользуемся простейшей линейной моделью вида:
.
Параметры прямой роста оценим по методу наименьших квадратов (МНК).
Для линейной модели параметры:
,
где среднее значение фактора времени; среднее значение исследуемого показателя , где N=5.
Найдем указанные величины:
.
Таким образом, рост производительности труда на предприятии за пять лет изменяется по закону .
Ответ: .
Использованная литература
- Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник под ред. В.И.Ермакова. М., ИНФРА-М, 2003.
- Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. М., АСТ, 2003.
- Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. Ростов на Дону, Феникс, 2002.
- Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2001.
- Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев. М., Гардарики, 2002.