Несобственные интегралы
Реферат по предмету:
"Высшая математика"
Название работы:
"Несобственные интегралы "
Автор работы: таня
Страниц: 15 шт.
Год:2007
Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)
При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:
1. пределы интегрирования и являются конечными;
2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .
В данном случае определенный интеграл называется собственным.
Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.
Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.
Если хотя бы одно из условий 1.- 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.
В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.
Найдем условия сходимости и расходимости несобственного интеграла
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .
Таким образом:
a) если , то
b) если то .
Если , то .
Вывод: данный интеграл сходится при и расходится при .
Пример 2.
Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл
.
Если , то
Следовательно, если , то несобственный интеграл расходится.
Если то
Этот предел будет бесконечным при или ; он будет равен постоянной при или . Итак данный интеграл сходится при
Пример 3.
Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл
.
Находим .
Данный предел будет бесконечным при или ; он будет равен при или .
Если , то , следовательно, при интеграл расходится.
Содержание работы
При введении понятия определенного интеграла вида предполагалось, что выполняются следующие условия:
1. пределы интегрирования и являются конечными;
2. подынтегральная функция ограничена на отрезке .
В данном случае определенный интеграл называется собственным.
Другими словами, определенный интеграл был введен для ограниченных на отрезке функций.
Естественно распространить это понятие на случай бесконечных промежутков и бесконечно больших функций.
Если хотя бы одно из условий 1.- 2. не выполняется, то интеграл называется несобственным.
В данной работе рассмотрим несобственные интегралы по неограниченному промежутку и от неограниченной функции и методы исследования их на сходимость.
Найдем условия сходимости и расходимости несобственного интеграла
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при .
Таким образом:
a) если , то
b) если то .
Если , то .
Вывод: данный интеграл сходится при и расходится при .
Пример 2.
Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл
.
Если , то
Следовательно, если , то несобственный интеграл расходится.
Если то
Этот предел будет бесконечным при или ; он будет равен постоянной при или . Итак данный интеграл сходится при
Пример 3.
Исследовать при каких значениях сходится несобственный интеграл
.
Находим .
Данный предел будет бесконечным при или ; он будет равен при или .
Если , то , следовательно, при интеграл расходится.
Использованная литература
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.1. М., Наука, 1980.
- Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М., Наука, 1989.
- Зорич В.А. Математический анализ.Ч.1.- М., Наука, 1984.
- Гусак А.А., Гусак Г.М., Ьричикова Е.А. Справочник по высшей математике.- Мн., ТетраСистемс, 2004.