ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТРИЧНОГО МНОЖЕСТВА
Реферат по предмету:
"Математические методы и модели в экономике"
Название работы:
"ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТРИЧНОГО МНОЖЕСТВА"
Автор работы: Ольга
Страниц: 14 шт.
Год:2005
Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)
1. Введение.
Одной из важнейших задач математики является исследование и решение систем уравнений первой степени. Как само су¬щест¬во¬ва¬ние решений системы, так и возможные числовые значения эле¬мен¬тов решения полностью определяются матрицами. В реферате я рассмотрел некоторые общие вопросы, ка¬са¬ющи¬е¬ся матриц:
определители квадратных матриц второго, третьего и высших по¬рядков;
минор матрицы;
ранг матрицы;
операции над матрицами;
собственные числа;
функциональное пространство.
2. Основные понятия.
Система линейных уравнений
а11х1 + а12х2 + а13х3 +…+ а1nхn = у1
а21х1 + а22х2 + а23х3 +…+ а2nхn = у2
…………………………………………………………
аm1х1 + аm2х2 + аm3х3 +…+ аmnхn = уm
будет некоторое множество связей между переменными х1, х2,…,хn и у1, у2,…, уm. Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентов aij. Если это множество коэффициентов обозначить через A и записать в виде
,
то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.
Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы - векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (m×n) матрицей. Квадратная матрица (m = n), является матрица n-го порядка.
Основные типы матриц.
• Матрица типа (m×1) называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк.
.
• Матрица типа (1×n), содержащая одну строку элементов, называется матрицей строкой.
.
• Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.
.
• Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.
.
• Транспонирование матрицы А – операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (Ат).
• Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.
Простейшие операции над матрицами.
• Сложение матриц.
Если матрицы А и В одного порядка (m×n), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется как cij = aij + bij, ; .
Свойства: А + В = В + А (коммутативность);
А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).
• Вычитание матриц.
Разность матриц одного порядка (m×n) равна матрице D = А – В, элементы которой определяются как: dij = aij - bij, ; .
• Матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.
• Произведение матриц.
Произведение матриц А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [Сik] = [ aijbjk]. В общем случае: С = АВ = [ aikbjk].
Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицы А и В согласованы по форме, а если матрицы А и В равны (А = В), т.е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.
• Умножение матриц на скалярную величину.
При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скаляр R. Произвольный элемент произведения RA равен Raij.
• Умножение транспонированных матриц.
ВтАт = (АВ)т.
В общем случае: Ст = (АВ)т = ВтАт.
Содержание работы
1. Введение. 3
2. Основные понятия. 3
1.1. Основные типы матриц. 3
1.2. Простейшие операции над матрицами. 4
2. Определители. 5
2.1. Миноры и алгебраические дополнения. 6
2.2. Союзная и обратная матрицы. 6
3. Вектор. Линейное пространство. 7
3.1. Линейное пространство. 8
3.2. Правило Крамера для решения линейных уравнений. 8
3.3. Однородная система уравнений. 8
4. Собственные числа. 9
4.1. Характеристическое уравнение. 9
5. Билинейная и квадратичная форма. 9
6. Матричные многочлены. 9
7. Функциональное пространство. 11
8. Метрическое пространство. 12
Заключение. 14
Используемая литература. 14
Использованная литература
- • Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1975.
- • Чемоданов Б.К. «Математические основы теории автоматического регулирования», Москва 1977 г.
- • Коршунов Ю.М. «Математические основы кибернетики», Москва 1987 г.
- • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1978, Т. 1, Т. 2.