ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТРИЧНОГО МНОЖЕСТВА

Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)

1. Введение.

Одной из важнейших задач математики является исследование и решение систем уравнений первой степени. Как само су¬щест¬во¬ва¬ние решений системы, так и возможные числовые значения эле¬мен¬тов решения полностью определяются матрицами. В реферате я рассмотрел некоторые общие вопросы, ка¬са¬ющи¬е¬ся матриц:

 определители квадратных матриц второго, третьего и высших по¬рядков;

 минор матрицы;

 ранг матрицы;

 операции над матрицами;

 собственные числа;

 функциональное пространство.

2. Основные понятия.

Система линейных уравнений

а11х1 + а12х2 + а13х3 +…+ а1nхn = у1

а21х1 + а22х2 + а23х3 +…+ а2nхn = у2

…………………………………………………………

аm1х1 + аm2х2 + аm3х3 +…+ аmnхn = уm

будет некоторое множество связей между переменными х1, х2,…,хn и у1, у2,…, уm. Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентов aij. Если это множество коэффициентов обозначить через A и записать в виде

,

то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.

Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы - векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (m×n) матрицей. Квадратная матрица (m = n), является матрица n-го порядка.

Основные типы матриц.

• Матрица типа (m×1) называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк.

.

• Матрица типа (1×n), содержащая одну строку элементов, называется матрицей строкой.

.

• Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

.

• Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.

.

• Транспонирование матрицы А – операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (Ат).

• Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.

Простейшие операции над матрицами.

• Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (m×n), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется как cij = aij + bij, ; .

Свойства: А + В = В + А (коммутативность);

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

• Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка (m×n) равна матрице D = А – В, элементы которой определяются как: dij = aij - bij, ; .

• Матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.

• Произведение матриц.

Произведение матриц А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [Сik] = [ aijbjk]. В общем случае: С = АВ = [ aikbjk].

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицы А и В согласованы по форме, а если матрицы А и В равны (А = В), т.е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.

• Умножение матриц на скалярную величину.

При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скаляр R. Произвольный элемент произведения RA равен Raij.

• Умножение транспонированных матриц.

ВтАт = (АВ)т.

В общем случае: Ст = (АВ)т = ВтАт.

Содержание работы

1. Введение. 3

2. Основные понятия. 3

1.1. Основные типы матриц. 3

1.2. Простейшие операции над матрицами. 4

2. Определители. 5

2.1. Миноры и алгебраические дополнения. 6

2.2. Союзная и обратная матрицы. 6

3. Вектор. Линейное пространство. 7

3.1. Линейное пространство. 8

3.2. Правило Крамера для решения линейных уравнений. 8

3.3. Однородная система уравнений. 8

4. Собственные числа. 9

4.1. Характеристическое уравнение. 9

5. Билинейная и квадратичная форма. 9

6. Матричные многочлены. 9

7. Функциональное пространство. 11

8. Метрическое пространство. 12

Заключение. 14

Используемая литература. 14

Использованная литература

1. • Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1975.
2. • Чемоданов Б.К. «Математические основы теории автоматического регулирования», Москва 1977 г.
3. • Коршунов Ю.М. «Математические основы кибернетики», Москва 1987 г.
4. • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1978, Т. 1, Т. 2.

Другие похожие работы

• Контрольная - Контрольная работа № 00По предмету «Высшая математика» (код ВЫ00)
• Реферат - ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И МАТРИЧНОГО МНОЖЕСТВА
• Курсовая - Решение задач с модулями в курсе средней школы 5-11 классы
• Контрольная - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (3 часть), 14 заданий по 5 тестовых вопроса
• Контрольная - «Элементы линейной алгебры». Вариант 7
• Шпаргалка - Математические методы и модели принятия решений
• Контрольная - Финансы и кредит
• Контрольная - транспортные задачи
• Реферат - ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
• Курсовая - Интегральные функции и их приложения