Уравнение упругого равновесия
Курсовая по предмету:
"Высшая математика"
Название работы:
"Уравнение упругого равновесия"
Автор работы: Юлия
Страниц: 42 шт.
Год:2010
Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)
Введение.
С теоретической точки зрения основная задача теории упругости состоит в нахождении решения уравнений равновесия изотропного тела заданной формы при заданных на границе смещениях или напряжениях. Случай, когда на тело действуют массовые силы, приводится, как показал Ляв, к случаю тела деформированного только поверхностными силами на граничной поверхности. Таким образом, задача заключается в определении таких функций смещения u, v, w, которые внутри заданной границы непрерывны вместе со своими производными и удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных Ламе. Кроме того, на границе эти функции должны удовлетворять заданным условиям. Если на границе задано смещение, тем самым известны значения функций u, v, w, если же на границе задано напряжение, то следовательно известны соотношения Коши. Доказано существование и единственность решения при определении напряжений и деформаций, а смещения находятся только с точностью до перемещений тела как абсолютно твердого.
Попытки получить решение указанной системы уравнений в общем виде при произвольных граничных условиях не увенчались успехом. Однако, большое количество частных задач имеет законченное аналитическое решение. При этом используются систематические методы теории потенциала, рядов, теории гармонических и аналитических функций, дифференциальных уравнений и др. С другой стороны, методы, которые были изобретены для интегрирования уравнений равновесия изотропного упругого тела, имеют большое значение для чистой математики.
Для упругого тела, находящегося в равновесии под действием сил, приложенных только к его поверхности, весьма плодотворно оказалось введение функций напряжений, которые применил впервые, по-видимому, Максвелл, затем Эри, Галеркин и др. Для нахождения решения уравнений равновесия в смещениях (Ламе) Кельвин получил смещения при помощи суммы скалярного и векторного потенциалов, получив для их определения уравнения типа Пуассона. Позже эту идею плодотворно развил Папкович, Нейбер, Куливе. В частности, используя решение Папковича-Нейбера, просто получить элементарные решения первого и второго рода Буссинеска и другие решения, о чем будет сказано в настоящей работе.
Содержание работы
Оглавление
Введение…………………………….…………………..3
Глава 1. Уравнения упругого равновесия…………..4
§1. Уравнение равновесия……………………………4
§2. Основные уравнения статики упругого изотропного тела ……………………………………..6
§3. Основные граничные задачи статики упругого тела…………………………………………………….7
§4. Основные уравнения в компонентах смещения…8
§5. Некоторые свойства уравнений упругого равновесия при отсутствии массовых сил …………9
Глава 11. Основные методы решений уравнений равновесия упругого однородного изотропного тела……………………………………………………12
§1. Формы решений Максвелла и Морера…………12
§2. Метод Буссинеска-Галеркина……………………13
§3. Метод Ламе……………………………………….14
§4. Метод Б.Г.Галеркина для решения уравнений упругого равновесия однородного изотропного тела в напряжениях………………………………………….16
Глава 111. Решение уравнений теории упругости изотропного упругого тела методом П.Ф.Папковича-Нейбера………………………………………………18
§1. Метод П.Ф.Папковича-Нейбера………………..18
1. Постановка задачи…………………………….18
2. Векторная форма уравнений равновесия……18
3. Решение Папковича-Нейбера…………………19
4. Простые решения…………………………21
§2. Решение уравнений Папковича-Нейбера в форме В.Д.Кулиева……………………………………….24
§3. Применение решения Папковича-Нейбера в плоской задаче теории упругости……………….27
1. Плоская деформация……………………….27
2. Плоская задача теории упругости в полярных координатах при отсутствии объемных сил……..28
3. Полярно-симметричные задачи……………32
4. Примеры решения полярно-симметричных задач…………………………………………………34
Заключение………………………………………….38
Литература…………………………………………..39
Использованная литература
- .
- Л.С. Лейбензон. Курс теории упругости. – Л.: ОГИЗ, 1947.
- Е.В. Макаров. Основы математической теории упругости. – М.: МГОУ, 2005.
- В.Д. Кулиев. Сингулярные краевые задачи. – М.: ФИЗМАТЛИ, 2005.
- А. Ляв. математическая теория упругости. – М., ОНТИ, 1935.
- Г.И.Кручкович, Б.С. Римский-Корсаков, Р.Л.Сенкевич. Курс высшей математики. Часть V. – ВЗЭИ, 1965.