Дифференциальный алгоритм решения общей задачи математического программирования. Метод Франка-Вулфа

Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)

Постановка задачи

Общая задача математического программирования имеет следующий вид:

Здесь минимизируемая функция, область допустимых решений.

1.2 Дифференциальный алгоритм

1.2.1 Переменные состояния и переменные решения

Область допустимых решений состоит из всех точек , которые удовлетворяют системе уравнений (1.1.2). В каждой окрестности точки имеется два типа точек: точки, не принадлежащие области , для которых , и точки, принадлежащие ей, для которых . Разобьем вектор на два составляющих вектора: , где -мерный, а -мерный ( ) векторы. Составляющие вектора называются переменными состояния (зависимыми переменными), а составляющие вектора переменными решения (независимыми переменными).

Пусть в качестве переменных состояния взяты первые составляющих вектора . Тогда

,

.

Разложим функцию и ограничения в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничиваясь линейными членами:

, (1.2.1)

. (1.2.2)

Здесь матрицы Якоби (размерности ) и управления (размерности ) соответственно:

, .

Выражение (1.2.2) равно нулю, поскольку нас интересует изменения функций (1.1.2), не выходящие из области допустимых решений .

Система уравнений (1.2.1), (1.2.2) представляет собой линейное уравнение c неизвестным. Считаем, что эти уравнения линейно независимы; в противном случае берем их наибольшее число, образующее линейно независимую систему, пренебрегая остальными как избыточными. Отсюда, очевидно, автоматически исключается случай , когда число уравнений больше числа неизвестных, а не представляет интереса, поскольку единственно возможное решение есть , то есть не существует допустимой окрестности в области задания вообще, что выражается в (1.1.2).

В общем случае разбиение на переменные состояния и решения производится произвольно. Единственное условие, которое при этом необходимо соблюдать, неособенность матрицы Якоби: . Должно быть ровно зависимых и независимых переменных, но для решения рассматриваемой проблемы не имеет значения, какие из переменных к какой категории относятся, если выполнено данное условие. В конкретной ситуации иногда ясно, какие из переменных должны быть зависимыми, а какие независимыми.

Как бы не были выбраны независимые переменные, любые значения их приращений позволяют определить в результате решения системы (1.2.2) единственный ряд изменений зависимых переменных , не выводящих новую точку из заданной области. После этого результирующее изменение , вычисленное в соответствии с уравнением (1.2.1), можно использовать для анализа изменения критерия, чтобы увидеть, приводят ли указанные изменения к ее улучшению.

Переменные решения можно изменять свободно, в то время как основное назначение переменных состояния удержат новую точку в заданной области. Произвольное изменение более чем переменных выведет точку из заданной области . Задание менее переменных приводит к бесконечному множеству решений и к невозможности найти местоположение новой точки. Точное число независимых переменных (решений) называется числом степеней свободы системы. Каждое дополнительное ограничение уменьшает данное число и снижает число независимых переменных на единицу, упрощая тем самым проблему оптимизации.

Содержание работы

Введение 5

1 Теоретическая часть 6

1.1 Постановка задачи 6

1.2 Дифференциальный алгоритм 6

1.2.1 Переменные состояния и переменные решения 6

1.2.2 Условные производные решения 8

1.2.3 Необходимые условия 9

1.2.4 Достаточные условия 10

1.2.5 Дифференциальный алгоритм 12

1.3 Метод Франка-Вулфа 16

1.3.1 Градиентные методы 16

1.3.2 Метод Франка-Вулфа 17

2 Практическая часть 19

2.1 Постановка задачи 19

2.2 Входные и выходные параметры 19

2.3 Решение дифференциальным алгоритмом 19

2.4 Решение методом Франка-Вулфа 22

2.5 Сравнительный анализ методов 24

Выводы 25

Список использованных источников 26

Приложение 27

Использованная литература

1. Евдокимов А.Г. Минимизация функций и ее приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. Харьков: Вища школа, 1985. 288 с.
2. Акулич М.Л. Математическое программирование в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1986. 319 с.
3. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 455 с.
4. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод И.И. Высшая математика. Математическое программирование. Мн.: Выш. школа, 1988. 392 с.

Другие похожие работы

• Контрольная - Найти рациональные корни: (x^4) - (5*x^3) - (6*x^2) + (7*x) - 2.
• Курсовая - определенный интеграл
• Курсовая - Определение максимума (минимума) функций методом «золотого сечения
• Курсовая - Курсовая работа по прикладной математике
• Курсовая - Поиск заданного фрагмента на графе
• Курсовая - Методы линейной аппроксимации. Методы отсекающих плоскостей Келли и условного градиента
• Учебник - Прикладная математика
• Контрольная - Математический анализ. 11 решенных заданий.
• Дипломная - Задача Лагранжа
• Курсовая - Решение задач целочисленного программирования методами ветвей и границ и частичного перебора