Алгебраические и трансцендентные числа

Краткая выдержка из текста работы (Аннотация)

Пусть даны два поля P и F, такие, что P – подполе поля F.

Определение 1. Число  называется алгебраическим над полем P, ес-ли  является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из P.

Определение 2. Комплексные числа, являющиеся алгебраическими над по-лем рациональных чисел, называются алгебраическими числами.

Пример. – корень многочлена с коэффициентами из поля дей-ствительных чисел:

– алгебраическое над полем действительных чисел.

Легко заметить, что является алгебраическим и над полем рациональ-ных чисел.

Из определения легко заметить, что если  – корень многочлена , то  – корень , где g – многочлен над полем P.

Определение 3. Пусть P – подполе F,  – алгебраический над полем P элемент. Тогда нормированный многочлен наименьшей степени, для которого  является корнем, называется минимальным многочленом элемен-та .

Символом будем обозначать степень многочлена h.

Теорема 1. Пусть  – алгебраический над полем P элемент, h – мини-мальный для  многочлен. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) h неприводим над P;

2) если h1 тоже является минимальным многочленом элемента , то ;

3) если , для которого  является корнем ( ), то h|g;

4) если , для которого  является корнем, k – нормированный мно-гочлен, неприводимый над P, то h=k.

Доказательство:

1) Предположим, что h – приводим над P. Тогда , f и g – много-члены над полем P, , , . Так как многочлен h нормированный, то многочлены f и g тоже можно сделать нормиро-ванными.  – по условию корень многочлена h, то есть . Зна-чит, . Очевидно, что одно из этих чисел или равно нулю. Пусть для определенности . Это утверждение противоречит тому, что h минимальный многочлен для элемента . Поэтому h неприводим над полем P.

Содержание работы

Содержание

Введение – 3

Понятие алгебраических чисел – 4

Рациональные приближения алгебраических чисел – 8

Понятие трансцендентных чисел – 15

Трансцендентность числа e – 18

Применение теоремы Лиувилля для нахождения трансцендентных

чисел – 22

Заключение – 23

Литература – 24

Использованная литература

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960.
2. Ожигова Е. П. Шарль Эрмит, 1822–1901. Л.: Наука, 1982.
3. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа. М., 1952.

Другие похожие работы

• Контрольная - Контрольная работа №3 по теме «Понятие натурального числа», Пед. колледж №1 им. Ушинского. Докажите, что множество чётных натуральных чисел и множество неч
• Курсовая - Кратные интегралы.
• Реферат - Гиперболические функции
• Контрольная - ВМ (14 заданий)
• Шпаргалка - Шпаргалка Матпрограммирование
• Шпаргалка - Дифференцирование
• Контрольная - Численное решение нелинейных уравнений
• Контрольная - Контрольная работа №1.
• Контрольная - Вычислительная математика. Контрольная работа. Численное решение системы нелинейных уравнений.
• Контрольная - Теория вероятности. Математическая статистика.Уравнения математической физики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.